Вариант 24

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $36^\circ$. Найдите угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите длину вектора $6\vec{a}-\vec{b}$.

Дано два шара. Радиус первого шара в 1,8 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в разных группах.

По условиям лотереи выигрышных билетов в ней всего на 20 % меньше, чем билетов без выигрыша. Какое наименьшее количество билетов нужно купить, чтобы среди них с вероятностью больше, чем 0,75, оказался выигрышный билет?

Вычислите стандартное отклонение случайной величины $Y$, которая подчиняется распределению

$$\begin{pmatrix}0&2\\0{,}1&0{,}9\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\left(5-x^2\right)^4=256$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения $6\cdot\sqrt[6]{243}\cdot\sqrt[30]{243}$.

Прямая $y=9x-5$ является касательной к графику функции $y=x^2+7x+c$. Найдите $c$.

Водолазный колокол, содержащий $\nu=13$ молей воздуха при давлении $p_1=1{,}2$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}$, где $\alpha=15\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — постоянная, $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 117 000 Дж.

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй — 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

На рисунке изображён график функции $f(x)=a^x+b$. Найдите $f(-4)$.

В июле 2029 года Даниил планирует взять кредит в банке на 4 года в размере 2 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 12 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2030, 2031 и 2032 года долг должен быть на 30 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит платёж 2033 года?

а) Решите уравнение $3\cos^2\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot\cos^2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos^4x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi;\,4\pi]$.

В правильной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$ отметили точку $K$ так, что $CK:KC_1=4:1$. Через точки $K$ и $D_1$ параллельно прямой $DF_1$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ пересекает ребро $B_1C_1$ в его середине.

б) Найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $\alpha$, если $AB=4$, $AA_1=15$.

Решите неравенство $3^x\cdot\log_5x+5^x\cdot\log_3x>3\cdot5^{x-1}\cdot\log_5x+5\cdot3^{x-1}\cdot\log_3x$.

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:

$$I=\dfrac{\varepsilon}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. При каком сопротивлении $R$ зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.

а) Докажите, что $AK=KD$.

б) Найдите угол $ADE$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle ADC=110^\circ$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}|y|-|x|=a,\\x-4=\sqrt{9-y}\end{cases}$$

имеет ровно два решения.

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.

а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?

б) Получилось, что на $k$ карточках есть только синяя и зелёная отметки, на $k$ карточках — только синяя и красная, на $k$ карточках — только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.

в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.