Вариант 23

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна 42, угол $C$ равен $150^{\circ}$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Длина вектора $\vec{a}$ равна $6\sqrt{2}$, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^{\circ}$, а скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$ равно 18. Найдите длину вектора $\vec{b}$.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется выше $+19\,^{\circ}\mathrm{C}$, равна $0{,}77$. Вероятность того, что температура окажется ниже $+22\,^{\circ}\mathrm{C}$, равна $0{,}6$. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от $+19\,^{\circ}\mathrm{C}$ до $+22\,^{\circ}\mathrm{C}$.

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 2 и 4 очка. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Всего выпущено 50 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Решите уравнение $\log_{x+5}36=2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения $\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a-5)^2}$ при $1\leqslant a\leqslant 5$.

На рисунке изображён график функции $y=F(x)$ — одной из первообразных функции $f(x)$, определённой на интервале $(-2;\,5)$. Найдите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-1;\,4]$.

Плоский замкнутый контур площадью $S=0{,}4$ м$^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $\mathcal{E}_i=aS\cos\alpha$, где $\alpha$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=5\cdot 10^{-4}$ Тл/с — постоянная, $S$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м$^2$). При каком минимальном угле $\alpha$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $10^{-4}$ В?

На изготовление 780 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 840 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

На рисунке изображён график функции $f(x)=a\operatorname{tg}x+b$. Найдите $b$.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 7 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 40 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 11 116 тысячам рублей. Найдите $r$.

а) Решите уравнение $|4\operatorname{tg}x+2|-|3\operatorname{tg}x-4|=-5$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ боковое ребро $SA$ равно 9, а сторона основания $AB$ равна 7. На рёбрах $BC$ и $SC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $BM=5$, $CK=2$.

а) Докажите, что плоскость $MKD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) Найдите, в каком отношении плоскость $MKD$ делит объём пирамиды $SABCDEF$.

Решите неравенство $\lg\left((x+1)\left(x^2+10\right)\right)\leqslant 1+\lg\left(x^2+3x+2\right)-\lg x$.

Судно стоит на открытой воде бортом к волне. Под действием волн оно испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой

$$A(\tau)=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2-\tau^2\right)^2+n\,\tau^2T^2}}.$$

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины судна к длине волны, $\Theta_0$ — угол наибольшего волнового склона (в градусах), $T$ — период свободных поперечных колебаний судна на тихой воде (в секундах), $n$ — числовой коэффициент. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний судна будет наибольшей, если $T=15{,}4$ с?

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=6\sqrt{3}$, $BC=DE=2\sqrt{7}$.

а) Докажите, что $AC=CE$.

б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD=5\sqrt{7}$.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}|x|+|y|=a,\\ y=\sqrt{9-x}\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 12 тонн или 72 тонны. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 60 % от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 15 % от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?