Вариант 21

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна 1, угол $C$ равен $150^{\circ}$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Длина вектора $\vec{a}$ равна 3, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^{\circ}$, а скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$ равно $15\sqrt{2}$. Найдите длину вектора $\vec{b}$.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется выше $+19^{\circ}\mathrm{C}$, равна $0{,}79$. Вероятность того, что температура окажется ниже $+22^{\circ}\mathrm{C}$, равна $0{,}64$. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от $+19^{\circ}\mathrm{C}$ до $+22^{\circ}\mathrm{C}$.

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 2 и 4 очка. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Всего выпущено 10 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Решите уравнение $\log_{x+7}25=2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения $\sqrt{(a-3)^2}+\sqrt{(a-9)^2}$ при $3\leqslant a\leqslant 9$.

На рисунке изображён график функции $y=F(x)$ — одной из первообразных функции $f(x)$, определённой на интервале $(-3;\,5)$. Найдите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-2;\,4]$.

Плоский замкнутый контур площадью $S=4$ м² находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $\mathcal{E}_i=aS\cos\alpha$, где $\alpha$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=3\cdot 10^{-4}$ Тл/с — постоянная, $S$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м²). При каком минимальном угле $\alpha$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $6\cdot 10^{-4}$ В?

На изготовление 621 детали первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 675 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

На рисунке изображён график функции $f(x)=a\operatorname{tg}x+b$. Найдите $b$.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 60 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 6560 тысячам рублей. Найдите $r$.

а) Решите уравнение $|2\operatorname{tg}x+5|+|2\operatorname{tg}x-1|=8$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ боковое ребро $SA$ равно 11, а сторона основания $AB$ равна 8. На рёбрах $BC$ и $SC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $BM=5$, $CK=3$.

а) Докажите, что плоскость $MKD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) Найдите, в каком отношении плоскость $MKD$ делит объём пирамиды $SABCDEF$.

Решите неравенство $\log_{2}\left((x-1)\left(x^2+2\right)\right)\leqslant 1+\log_{2}\left(x^2+3x-4\right)-\log_{2}x$.

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(\mathcal{E})=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\mathcal{E}}\,e^{-\frac{\mathcal{E}}{kT}},$$

где $k=1{,}38\cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, $\mathcal{E}$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\mathcal{E}$, при котором функция плотности $f(\mathcal{E})$ принимает наибольшее значение, если $T=400$ К.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=6$, $BC=DE=8$.

а) Докажите, что треугольник $ACE$ равнобедренный.

б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD=12$.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}|x|+|y|=a,\\y=\sqrt{x+4}\end{cases}$$

имеет ровно три различных решения.

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 90 % от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?