Вариант 21

Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении $2:3$. Найдите большее основание трапеции.

Даны векторы $\vec{a}(16;\,-0{,}4)$ и $\vec{b}(2;\,5)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 48. Найдите объём цилиндра.

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется ниже $+18\,^\circ$C, равна 0,27. Вероятность того, что температура окажется выше $+21\,^\circ$C, равна 0,36. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от $+18\,^\circ$C до $+21\,^\circ$C.

Стрелок стреляет по трём мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,5. Если стрелок промахнулся, он стреляет по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно одну мишень из трёх.

Случайная величина $Z$ распределена по закону

$$\begin{pmatrix}0&3\\0{,}7&0{,}3\end{pmatrix}.$$

Найдите дисперсию случайной величины $Z$.

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{1-3x}=2^{x+2}$.

Найдите значение выражения $\log_{2{,}5}4-\log_{2{,}5}10$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-22;\,2)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-18;\,1]$.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ км/ч$^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,9 километра, приобрести скорость 150 км/ч. Ответ дайте в км/ч$^2$.

Расстояние между пристанями А и В равно 160 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 38 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=\dfrac{k}{x+a}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=20$.

В январе 2028 года Галина планирует открыть вклад на 2 года на 900 тысяч рублей, а в январе 2029 года дополнительно внести на этот вклад ещё 250 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет $r$ % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $r$, если в январе 2030 года на вкладе должно быть 1431,71 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\sin^4\dfrac{x}{4}-\cos^4\dfrac{x}{4}=\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi;\,-\pi]$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD:DC=SE:EB=1:2$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $BF=FC$.

а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.

б) Найдите отношение $AP:PS$.

Решите неравенство $16\cdot5^{1-\frac{8}{x}}-189\cdot20^{-\frac{4}{x}}+25\cdot2^{2-\frac{16}{x}}\leqslant0$.

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой

$$l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}.$$

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=60$ м, $u=1{,}3$ м/с, $v=1{,}2$ м/с.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.

а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.

б) Найдите длину диагонали $BD$, если известно, что $FP=12$ и $PK=5$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\dfrac{a}{2}x+2a$ и $y=a|x|+|a|$, будет меньше 7, но не меньше 3.

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке «$-50$», если Митя 30 раз бросил кубик?

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «$-50$»?

в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «$-57$», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз.