Вариант 20

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $74^\circ$. Найдите угол $AOC$, где $O$ — центр вписанной окружности. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координаты у которых — целые числа. Найдите длину вектора $\vec{b}-3\vec{a}$.

Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны 10, а высота равна 12.

На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран, в том числе группы из Дании, Бельгии, Швеции и Норвегии. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать позже групп из Швеции, Бельгии и Норвегии? Ответ округлите до сотых.

В магазине куплено 6 одинаковых луковиц гиацинтов. Вероятность того, что каждая отдельная луковица успешно прорастёт, равна 0,7. Во сколько раз вероятность события «прорастёт ровно 4 луковицы» больше вероятности события «прорастёт ровно 3 луковицы»?

Пластиковые бутылки с питьевой водой продаются поштучно, либо упаковками по 6 или 12 штук. Известно, что в среднем 77 покупателей из 100 эту воду не покупают, 12 покупают поштучно, 7 человек — упаковку, в которой 6 бутылок, и 4 человека берут упаковку, в которой 12 бутылок. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество бутылок в одной покупке».

Найдите корень уравнения $\sqrt{-x}=x+12$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения $\dfrac{6^{-3{,}7}\cdot3^{6{,}7}}{2^{-2{,}7}}$.

Прямая $y=7-9x$ является касательной к графику функции $y=ax^2+21x-2$. Найдите $a$.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_\text{п}=25\,^\circ\text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m=0{,}5$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_\text{в}=81\,^\circ\text{C}$ до температуры $T$, причём $x=\alpha\dfrac{cm}{\gamma}\log_2\dfrac{T_\text{в}-T_\text{п}}{T-T_\text{п}}$, где $c=4200\,\dfrac{\text{Вт}\cdot\text{с}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}$ — теплоёмкость воды, $\gamma=42\,\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot{}^\circ\text{C}}$ — коэффициент теплообмена, а $\alpha=1{,}1$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 110 м.

Первый мастер изготавливает на 5 деталей в час меньше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый мастер, если заказ на 250 деталей он выполняет на 2 часа 20 минут медленнее, чем второй мастер выполняет заказ на 230 деталей?

На рисунке изображён график функции $f(x)=\log_a(x+b)$. Найдите $f(29)$.

В июле 2029 года Борис планирует взять кредит в банке на 4 года в размере 3 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 16 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита?

а) Решите уравнение $\sin2x\cdot\sin4x+\cos4x\cdot\cos\dfrac{2\pi}{3}=\sin\left(2x-\dfrac{3\pi}{2}\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

В правильной пирамиде $SABCDEF$ высота $SO$ в 3 раза больше стороны основания. На ребре $SC$ отметили такую точку $N$, что треугольник $BDN$ равносторонний.

а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $SC$.

б) Найдите угол между плоскостями $FDN$ и $ABC$.

Решите неравенство $\dfrac{x^2-\log_{\sqrt{3}}^2|x|}{x^2-9}\geqslant 1$.

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону

$$U_L(\omega)=\dfrac{UL\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}},$$

где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в с$^{-1}$), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=311$ В, $L=0{,}057$ Гн, $C=2\cdot10^{-5}$ Ф и $R=50$ Ом?

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=6\sqrt{2}$, $AC=2\sqrt{15}$ и $BC=6$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $BD:DC=2:1$.

а) Докажите, что $AD$ — высота треугольника $ABC$.

б) На луче $BC$ отметили точку $E$ такую, что $AC$ — биссектриса треугольника $BAE$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BAE$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}(x+y)^2-(4a+9)^2+9=2(ax-ay+xy),\\|xy|=a^2\end{cases}$$

имеет не менее семи различных решений.

Коля записал на доске 15 различных натуральных чисел, каждое из которых меньше 5000. Петя записал на доске квадраты всех чисел, которые записал Коля. Получилось так, что среднее арифметическое любых трёх чисел, которые записал Петя, — целое число. Одно из чисел, записанных на доске, равно 2401.

а) Может ли на доске быть записано число 10 816?

б) Может ли на доске быть записано число 40 401?

в) Какое наибольшее количество пар одинаковых чисел может быть написано на доске?