Вариант 2

Угол равнобедренного треугольника, противолежащий основанию, равен $150^\circ$. Найдите площадь этого треугольника, если его боковая сторона равна $\sqrt{10}$.

Даны векторы $\vec{a}(6;\,-4)$ и $\vec{b}(-2;\,3)$. Найдите скалярное произведение векторов $0{,}5\vec{a}$ и $3\vec{b}$.

Цилиндр описан около шара, объём которого равен 54. Найдите объём цилиндра.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в среду в автобусе окажется больше 24 пассажиров, равна 0,38. Вероятность того, что окажется больше 20 пассажиров, равна 0,62. Найдите вероятность того, что в автобусе будет 21, 22, 23 или 24 пассажира.

Футбольная команда А. дома (на своём поле) выигрывает у команды Б. с вероятностью 0,6, а играет вничью с вероятностью 0,2. В гостях (на поле команды Б.) команда А. выигрывает у команды Б. с вероятностью 0,4, а играет вничью с вероятностью 0,1. За победу команда получает 3 очка, за ничью — 1 очко. Команды А. и Б. играют два матча — на своём и чужом полях. Найдите вероятность того, что команда А. наберёт в этих матчах не менее 4 очков.

Пластиковые бутылки с питьевой водой продаются поштучно либо упаковками по 4 или 12 штук. Известно, что в среднем 73 покупателя из 100 эту воду не покупают, 16 покупают поштучно, 5 человек — упаковку, в которой 4 бутылки, и 6 человек берут упаковку, в которой 12 бутылок. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество бутылок в одной покупке».

Найдите корень уравнения $25^{x-5}=\sqrt{125}$.

Найдите $\log_a\left(a^7\cdot\sqrt{b}\right)$, если $\log_b a=-5$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-7;\,7)$. Найдите точку минимума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[-5;\,3]$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=-10t^2+26t+1{,}2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 10 метров?

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 400 км, одновременно выехали автомобилист и мотоциклист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 16 км меньше, чем мотоциклист. Определите скорость мотоциклиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час 15 минут раньше автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=k\log_a x$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=6$.

В июле 2030 года Анна планирует взять кредит в банке на 4 года в размере 2,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита?

а) Решите уравнение $\log_{0{,}5}\left(\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\sqrt{2}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=0{,}5$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{11\pi}{2};\,-4\pi\right]$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$, в котором $\angle ABC=120^\circ$ и $AB=2$. Высота пирамиды $SO$ равна $\sqrt{7}$, где точка $O$ — пересечение диагоналей основания. На ребре $CS$ отметили точку $K$ такую, что угол между прямой $DK$ и плоскостью основания равен $30^\circ$.

а) Докажите, что $SK:KC=2:1$.

б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $BC$.

Решите неравенство $\dfrac{4^{x+1}+x-13\sqrt{x}-92}{2^{2x+1}-64}\leqslant 2$.

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой

$$A(\tau)=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2-\tau^2\right)^2+n\tau^2T^2}}.$$

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0<n<0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14{,}2$ с?

В пятиугольник $ABCDE$ вписана окружность $\omega$ радиусом $m$ и с центром в точке $O$. Четырёхугольник $ABDE$ является равнобедренной трапецией с бо́льшим основанием $BD$; $P$ — точка касания окружности $\omega$ со стороной $AE$.

а) Докажите, что точки $C$, $O$ и $P$ лежат на одной прямой.

б) Найдите площадь пятиугольника $ABCDE$, если $AE=10$, $AB=15$, $m=10$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$(a-x)^{1{,}5}+5x-\left(x+\dfrac{1}{5}(a-x)^{1{,}5}\right)\log_5\left(x^2-a^2\right)=5a-a\log_5\left(x^2-a^2\right)$$

имеет ровно один корень.

Ширина одной секции забора равна 1,1 метра. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 40 см (накладывать одну секцию на другую) и получать забор определённой длины.

а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 6 метров?

б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?

в) Найдите наименьшую длину $L$ (см) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины $L+10n$ см $(n\in\mathbb{N})$.