Вариант 19

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен $170^{\circ}$. Найдите число сторон этого многоугольника.

Найдите квадрат длины вектора $-\vec{a}-\vec{b}$.

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Диаметр основания и высота цилиндра равны 7. Найдите объём параллелепипеда.

В классе 21 учащийся, среди них два друга — Ярослав и Денис. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Ярослав и Денис окажутся в разных группах.

На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт $S$, с которым связана случайная величина $X$. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины $X$.

Найдите вероятность события $(X\leqslant 4{,}37)$.

Вычислите математическое ожидание случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X\sim\begin{pmatrix}3&6&9&12&15\\0{,}5&0{,}15&0{,}2&0{,}05&0{,}1\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $2^{5-x}=64$.

Найдите $\dfrac{p(m)}{p\left(\dfrac{1}{m}\right)}$, если $p(m)=\left(m-\dfrac{6}{m}\right)\left(-6m+\dfrac{1}{m}\right)$. При $m\neq 0$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-12;\,10)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих интервалу $(-11;\,9)$.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=700$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=400$ руб., постоянные расходы предприятия $f=900\,000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q)=q(p-v)-f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 600 000 руб.

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 11 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 11 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 20 минут? Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=a\sin x-b$. Найдите $b$.

В июле 2028 года планируется взять кредит на пять лет в размере $1{,}65$ млн рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным $1{,}65$ млн рублей;

— выплаты в 2032 и 2033 годах равны;

— к июлю 2033 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму платежей за пять лет. Ответ дайте в млн рублей.

а) Решите уравнение $\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)\left(\sin 2x+\sqrt{3}\cos x\right)=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и делит его в отношении $AM:MA_1=4:1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $B_1$, $D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$.

а) Докажите, что точка $P$ делит ребро $FF_1$ в отношении $FP:PF_1=7:3$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=2$, $AA_1=\sqrt{21}$.

Решите неравенство $\dfrac{1}{x+6\sqrt{x+7}+16}\geqslant\dfrac{1}{x-3\sqrt{x+7}-11}$.

На берегах прямого участка реки друг напротив друга находятся пристани А и Б. Лодка начинает переправу от пристани А. Собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$.

При переправе лодку сносит течением, и точка прибытия В находится от пристани Б на расстоянии, которое выражается формулой

$$L=H\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha},$$

где $H$ — ширина реки, $\alpha$ — угол между вектором скорости лодки относительно воды и вектором скорости течения. Найдите наименьшее возможное расстояние от точки В до пристани Б, если $H=100$ м, $u=1$ м/с и $v=0{,}8$ м/с.

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$ так, что $\angle BAC+\angle AKC=90^{\circ}$.

а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ можно вписать в окружность.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника $KBC$, равен 39, а $\cos\angle BAC=\dfrac{12}{13}$.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых множеством решений неравенства

$$\dfrac{x-8}{ax^2-\left(a^2+7\right)x+7a}\geqslant 0$$

является луч.

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 1 и увеличивают цифру в разряде единиц на 1. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 118 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 22, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1156?