Вариант 18

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $54^\circ$ и $78^\circ$. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(9;\,-8)$ и $\vec{b}(3;\,8)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=9$, $AD=8$, $AA_1=10$.

В фирме такси в наличии 20 легковых автомобилей: 7 чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Биатлонист по одному разу стреляет по пяти мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист 4 раза попадёт в мишени и один раз промахнётся. Результат округлите до сотых.

Вычислите математическое ожидание случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X:\begin{pmatrix}1&3&5&7&9\\0{,}15&0{,}5&0{,}05&0{,}2&0{,}1\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $2\log_3(x+2)=1+\log_3(4x+8)$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите $\operatorname{tg}\alpha$, если $\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ и $\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2};\,\pi\right)$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-1$, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta=\dfrac{T_1-T_2}{T_1}\cdot100\,\%$, где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре $T_1$ нагревателя КПД этого двигателя будет 25 %, если температура холодильника $T_2=336$ К? Ответ дайте в кельвинах.

Из города А в город Б выехал автобус, а через 2 часа со скоростью 65 км/ч следом за ним выехал автомобиль, догнал автобус в городе К и повернул обратно. Когда автомобиль вернулся в А, автобус прибыл в Б. Найдите расстояние от А до К, если расстояние между городами А и Б равно 336 км. Ответ дайте в километрах.

На рисунке изображены графики функций $f(x)=kx+b$ и $g(x)=ax^2+bx+c$, которые пересекаются в начале координат и в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

В июле 2031 года Ксения планирует взять кредит в банке на 2 года в размере 1080 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $r$ % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами по 672,8 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\dfrac{\cos^4x+\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+2x\right)-\sin^2x}{2\cos^2\left(-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{4}\right)-5\sin\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{\pi}{8}\right)-2}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\,4\pi]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ высота $AA_1$ в 1,5 раза больше стороны $AB$ основания $ABC$. Через прямую $A_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ACB_1$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BB_1$ в отношении $1:2$.

б) Найдите угол между плоскостями $BCC_1$ и $\alpha$.

Решите неравенство $\sqrt{x^2-5}>3+\dfrac{1}{1-\sqrt{x^2-5}}$.

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой

$$A(\tau)=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2-\tau^2\right)^2+n\tau^2T^2}}.$$

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0<n<0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14{,}5$ с?

Окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ вписана в угол с вершиной в точке $B$, равный $120^\circ$. Точки $A$ и $C$ — точки касания угла и окружности, а $AE$ и $CD$ — диаметры окружности.

а) Докажите, что $AD=3BC$.

б) Прямые $BD$ и $BE$ вторично пересекают окружность в точках $N$ и $P$ соответственно. Найдите $PN$, если $R=13$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\cos ax=0{,}4$$

имеет на отрезке $[-\pi;\,4\pi]$ ровно десять корней.

При решении можно воспользоваться оценкой: $1{,}1<\arccos0{,}4<1{,}2$.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно учетверённой сумме цифр первого, а третье равно учетверённой сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2025?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2026?

в) Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно 16.