Вариант 16

В треугольнике $ABC$ высота $AH$ равна $4\sqrt{6}$, $AB=BC$, $AC=25$. Найдите косинус угла $CAB$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координаты у которых — целые числа. Найдите $\cos\angle\left(\vec{a};\,\vec{b}\right)$.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 3. Найдите площадь его поверхности.

В магазине в одной коробке лежат вперемешку ручки с чёрными, синими и красными чернилами, одинаковые на вид. Покупатель случайным образом выбирает одну ручку. Вероятность того, что она окажется синей или чёрной, равна 0,86, а того, что она окажется красной или синей, равна 0,58. Найдите вероятность того, что ручка окажется синей.

Правильный игральный кубик бросили десять раз. Известно, что в какой-то момент сумма выпавших при бросаниях очков оказалась равна 3. Какова вероятность того, что к этому моменту был сделан ровно один бросок? Ответ округлите до сотых.

Найдите стандартное отклонение случайной величины, имеющей распределение

$$\begin{pmatrix}1&2&5\\0{,}5&0{,}1&0{,}4\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $2^{-7-4x}=64^x$.

Найдите значение выражения $2^{3+\log_2 12}$.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=\dfrac{1}{2}t^4-t^3+3t^2+7t$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=2$ с.

Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_0\sin\dfrac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=6$ с — период колебаний, $v_0=2$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 4 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Смешали 55-процентный и 30-процентный растворы кислоты и получили 40-процентный раствор кислоты. Если к полученному раствору добавить 10 кг чистой воды, то получится 32-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 55-процентного раствора использовали для получения смеси?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=kx+b$ и $g(x)=p\sqrt{x}$, которые пересекаются в начале координат и в точке $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

В январе 2031 года Юлия планирует открыть вклад на 3 года на целое число $S$ сотен тысяч рублей, а в январе 2032 и 2033 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по 200 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет 10 % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $S$, если в январе 2034 года на вкладе должно быть 1526,8 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\log_3^3(x-3)^2+8\log_3\dfrac{1}{(x-3)}+16=\log_3^2\dfrac{1}{(x-3)^4}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_{0{,}6}\dfrac{1}{6};\,\log_{0{,}8}\dfrac{1}{8}\right]$.

В правильной пирамиде $SABCD$ с высотой $SO$ точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.

а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.

б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2\sqrt{3}$, $SO=9$.

Решите неравенство $\dfrac{\sqrt{x+5}}{2^{x^2-6}-9\cdot2^{0{,}5x^2-4{,}5}+1}\geqslant 0$.

Распределение скорости молекулы гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}004\ \dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса гелия, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=350$ К?

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с бо́льшим основанием $AD$ вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $AD$, вторая — сторон $BC$, $CD$ и $AD$, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны $CD$ с одной из окружностей радиуса $r$ делит сторону $CD$ в отношении $1:9$.

а) Докажите, что $r=0{,}3\cdot CD$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=20$.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}(x+a)^4-y^4-0{,}5a^2(x+a)^2+0{,}5a^2y^2=0,\\y=ax+\dfrac{a}{2}\end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно 0.

а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в пять раз больше произведения $abc$?

б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в 120 раз больше произведения $abc$?

в) Найдите наименьшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.