Вариант 15

В треугольнике $ABC$ высота $AH$ равна 13, $AB=BC$, $AC=20$. Найдите синус угла $CAB$.

Даны векторы $\vec{a}(4;\,-3)$ и $\vec{b}(7;\,24)$. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Куб вписан в шар радиуса $4{,}5\sqrt{3}$. Найдите объём куба.

В магазине в одной коробке лежат вперемешку ручки с чёрными, синими и красными чернилами, одинаковые на вид. Покупатель случайным образом выбирает одну ручку. Вероятность того, что она окажется синей или чёрной, равна 0,77, а того, что она окажется красной или чёрной, равна 0,58. Найдите вероятность того, что ручка окажется чёрной.

Правильный игральный кубик бросили десять раз. Известно, что в какой-то момент сумма выпавших при бросаниях очков оказалась равна 4. Какова вероятность того, что к этому моменту было сделано ровно два броска? Ответ округлите до сотых.

Найдите стандартное отклонение случайной величины, имеющей распределение

$$\begin{pmatrix}2&3&4\\0{,}2&0{,}5&0{,}3\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $16^{2x}=2^{6x-12}$.

Найдите значение выражения $3^{3+\log_3 2}$.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=-\dfrac{1}{4}t^3+7t^2-8t$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=8$ с.

Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_0\sin\dfrac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=6$ с — период колебаний, $v_0=0{,}8$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 5 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Смешали 20-процентный и 45-процентный растворы кислоты и получили 36-процентный раствор. Если к полученному раствору добавить 10 кг чистой воды, то получится 30-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 20-процентного раствора использовали для получения смеси?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=kx+b$ и $g(x)=p\sqrt{x}$, которые пересекаются в начале координат и в точке $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

В январе 2031 года Стас планирует открыть вклад на 3 года на целое число $S$ сотен тысяч рублей, а в январе 2032 и 2033 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по 300 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет 20 % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $S$, если в январе 2034 года на вкладе должно быть 2001,6 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $4\log_4^3(x+2)+16\log_{16}^2(x+2)+0{,}5\log_{0{,}5}(x+2)=1$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_{0{,}4}4;\,\log_4 0{,}4\right]$.

В правильной пирамиде $SABCD$ с высотой $SO$ точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.

а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.

б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2$, $SO=3$.

Решите неравенство $\dfrac{\sqrt{4-x}}{2^{x^2-5}-17\cdot2^{0{,}5x^2-4{,}5}+1}\leqslant 0$.

Распределение скорости молекулы гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}004\ \dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса гелия, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=450$ К?

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с бо́льшим основанием $AD$ вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $AD$, вторая — сторон $BC$, $CD$ и $AD$, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны $CD$ с одной из окружностей радиуса $r$ делит сторону $CD$ в отношении $1:4$.

а) Докажите, что $r=0{,}4\cdot CD$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=30$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}x^4-(y+a)^4-0{,}5a^2x^2+0{,}5a^2(y+a)^2=0,\\y=ax\end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно 0.

а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в девять раз больше произведения $abc$?

б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в два раза больше произведения $abc$?

в) Найдите наибольшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.