Вариант 13

Острый угол ромба равен $30^{\circ}$. Радиус окружности, вписанной в этот ромб, равен $5{,}5$. Найдите сторону ромба.

Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.

В группе шесть человек, среди них — Сергей и Ольга. Группу случайным образом делят на 2 равные по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Сергей и Ольга окажутся в одной подгруппе.

На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт $S$, с которым связана случайная величина $X$. Около каждого элементарного события указана вероятность этого события и соответствующее значение случайной величины $X$.

Найдите вероятность события $(2\lt X\leqslant 5)$.

Случайная величина $Z$ распределена по закону

$$\begin{pmatrix}0&1\\0{,}2&0{,}8\end{pmatrix}.$$

Найдите дисперсию случайной величины $Z$.

Решите уравнение $\operatorname{tg}\dfrac{\pi(4x+3)}{3}=-\sqrt{3}$. В ответе запишите наименьший положительный корень.

Найдите $45a-18b-34$, если $\dfrac{3a-6b+6}{6a-3b+6}=8$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$, $x_{10}$, $x_{11}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

Груз массой 0,06 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_0\sin\dfrac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=12$ с — период колебаний, $v_0=2$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 5 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

В 2008 году в городском квартале проживало 60 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 5 %, а в 2010 году — на 6 % по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

На рисунке изображён график функции $f(x)=\log_{a}(x+b)$. Найдите $f(29)$.

В июле 2028 года планируется взять кредит на три года в размере 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— платежи в 2029 и 2030 годах должны быть равными;

— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 736,6 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2031 года?

а) Решите уравнение $4^{2\cos x+0{,}5}+9^{2\cos x+0{,}5}-5\cdot 36^{\cos x}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

Точки $E$ и $K$ являются соответственно серединами рёбер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 10. Через точки $E$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$, пересекающая рёбра $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно, при этом $EM=\sqrt{109}$. Плоскость $\alpha$ пересекает луч $BB_1$ в точке $L$.

а) Докажите, что $LB_1:B_1B=2:3$.

б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $\alpha$.

Решите неравенство $4^{-x^2+6x-4}-18\cdot 2^{-x^2+6x-4}+32\geqslant 0$.

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $\mathcal{E}=40$ В и внутреннее сопротивление $r=1{,}6$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в Омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P=I^2R$ (закон Джоуля–Ленца). Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять этот источник.

В прямоугольнике $ABCD$ через вершину $B$ перпендикулярно диагонали $AC$ проведена прямая, пересекающая сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.

а) Докажите, что лучи $BM$ и $BD$ делят угол $ABC$ на три равные части.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ до прямой $CM$, если $BC=21$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}y=|x-a|-5,\\5|y|+x^2-10x=0\end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;\,b)$ получается пара $(3a-b;\,3b+a)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;\,5)$?

б) Верно ли, что если пара $(c;\,d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(d;\,-c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;\,b)$ и $(c;\,d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(2;\,9)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.