Вариант 13

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите бо́льшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 42.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координаты у которых — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $2\vec{b}$.

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 5 раз, а образующая увеличится в 2 раза?

В чемпионате по шашкам участвует 76 спортсменов, среди которых 13 шашистов из России, в том числе Андрей Фомин. Для игр первого тура участников разбивают на игровые пары случайным образом. Найдите вероятность того, что в первом туре Андрей Фомин будет играть с каким-либо шашистом из России.

В группе туристов 16 человек, в том числе три друга — Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на две равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все три друга окажутся в одной группе.

Всего выпущено 50 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline \text{Выигрыш} & 100\text{ р.} & 500\text{ р.} & 1000\text{ р.} & 50\text{ тыс. р.} & 100\text{ тыс. р.}\\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 1000 & 100 & 50 & 10 & 2\\ \hline\end{array}$$

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $(x-7)^3=729$.

Найдите значение выражения $\sqrt{27}\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-\sqrt{27}\sin^2\dfrac{19\pi}{12}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной функции в точке $x_0=4$.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{2Rh}$, где $R=6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 28 километров?

Каждая из двух труб с одинаковой пропускной способностью может наполнить бассейн за 11 часов. Через 3 часа после того, как одна труба наполняла бассейн, подключили вторую трубу, и бассейн наполнили две трубы вместе. Сколько часов потребовалось на наполнение бассейна?

На рисунке изображён график функции $f(x)=\dfrac{k}{x}+b$. Найдите $f(-15)$.

В июле 2030 года Ева планирует взять кредит в банке на 2 года в размере 810 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 16 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами?

а) Решите уравнение $8^{1-4x}-21\cdot4^{1{,}5-3x}+640=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-1;\,-0{,}5\right]$.

Ребро $AB$ основания $ABCD$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $2\sqrt{6}$, а высота $AA_1$ равна $2\sqrt{5}$. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ отметили точки $N$ и $K$ соответственно так, что $N$ — середина ребра, а $C_1K:KD_1=2:1$. Через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $BD$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что прямая $CA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $C$ и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью $\alpha$.

Решите неравенство $\log_{0{,}5}\dfrac{x-3}{x+3}+2\log_4\left(x^2-9\right)\geqslant 5$.

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=1{,}6$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:

$$I=\dfrac{\varepsilon}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять зарядная станция.

Точка $M$ — середина стороны $BC$ ромба $ABCD$, $DB=DM$.

а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,75.

б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что в четырёхугольник $ABPD$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB=4$.

Найдите все неотрицательные значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$|x-a|+|2x+3a|=1-ax$$

имеет ровно одно решение.

Для набора 60 различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число $-400$?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 400?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?