Вариант 12

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели биссектрису $AF$. Найдите угол $AFB$, если угол $ABC$ равен $72^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(5;\,-6)$ и $\vec{b}(-5;\,-9)$. Найдите длину вектора $2\vec{b}-5\vec{a}$.

Первая цилиндрическая кружка в два раза выше второй, зато вторая в два с половиной раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

В среднем из 800 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна 0,65. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится в обоих автоматах.

Известно, что случайная величина $Y$ подчиняется распределению

$$Y:\begin{pmatrix}0&3&6&9&12&15\\0{,}05&0{,}1&0{,}15&0{,}2&0{,}25&0{,}25\end{pmatrix}.$$

Найдите вероятность события $6\leqslant Y<18$.

Найдите корень уравнения $\sqrt{5x}=2\dfrac{1}{2}x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите значение выражения $\log_a\left(a^3b^{14}\right)$, если $\log_b a=-2$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-1;\,17)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[1;\,15]$.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 48 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Баржа, скорость которой в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт баржа возвращается через 18 часов после отплытия из него. Сколько километров прошла баржа за весь рейс?

На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2+bx+c$. Найдите $f(-3)$.

В июле 2031 года Мария планирует взять кредит в банке на 3 года в размере 750 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 12 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2032 и 2033 года долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита?

а) Решите уравнение $\sqrt{4\sin^3x-4\cos^2x-\cos x-\sin x+3}=\sqrt{\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{9\pi}{2};\,6\pi\right]$.

В пирамиде $SABCD$ с высотой $SA$ основанием является квадрат $ABCD$, точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.

а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.

б) Найдите угол между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2\sqrt{2}$, $SA=3$.

Решите неравенство $\dfrac{4^x-3\cdot2^{x+1}+5}{\log_{\frac{1}{5}}^2(3^x-2)-\log_{\frac{1}{5}}(3^x-2)^2+1}\leqslant 0$.

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(\varepsilon)=2\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\pi}}\cdot\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{\varepsilon}{kT}},$$

где $k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}$ — постоянная Больцмана, $\varepsilon$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\varepsilon$, при котором функция плотности $f(\varepsilon)$ принимает наибольшее значение, если $T=80$ К?

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с большим основанием $CD$ и прямыми углами $A$ и $D$ вписана окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$. Точка $G$ — точка касания данной окружности и стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Биссектриса угла $ADC$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$.

а) Докажите, что $BG=\left(\sqrt{2}-1\right)R$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BNOG$, если $R=6$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}\left(|x|+a^2\right)^2+(y-4a)(y+4a)=4y-4,\\0{,}5y-1=\sqrt{6a}\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется $k$ кляссеров, причём 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+3$ кляссеров и также 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 160, но меньше 170 ячеек, а в маленьком — больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли $k$ быть равно 4?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?

\* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.