Вариант 10

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=BC$, $AB=12$, $\sin A=0{,}28$. Найдите $AC$.

Даны векторы $\vec{a}(1;\,-1)$ и $\vec{b}(2;\,5)$. Найдите длину вектора $14\vec{a}-2\vec{b}$.

Объём треугольной пирамиды равен 360. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении $1:2$, считая от вершины пирамиды. Найдите меньший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

В гонке с раздельным стартом участвуют 16 лыжников, среди которых 7 спортсменов из Швеции. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из шведских лыжников получил стартовый номер «9». Найдите вероятность того, что за ним будет стартовать его соотечественник.

В одном ящике лежат 40 белых и 10 чёрных шаров. В другом ящике лежат 15 белых и 35 чёрных шаров. Случайным образом из каждого ящика берут по одному шару. Найдите вероятность того, что это будут шары одного цвета.

Найдите дисперсию случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X:\begin{pmatrix}2&3&4\\0{,}3&0{,}4&0{,}3\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\sqrt{8x^2-16}=x^2$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения $\sqrt{2}\,\mathrm{tg}\,\dfrac{11\pi}{6}\cdot\sin\left(-\dfrac{13\pi}{3}\right):\cos\dfrac{19\pi}{4}$.

На рисунке изображён график $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено тринадцать точек: $x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\,x_5,\,x_6,\,x_7,\,x_8,\,x_9,\,x_{10},\,x_{11},\,x_{12},\,x_{13}$. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v(t)=2\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi t}{4}$ (см/с), где $t$ — время в секундах. Какую долю времени из первых 2,5 секунды скорость движения не превышала 3 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, при необходимости округлите до сотых.

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 125 метров, второй длиной 95 метров. Сначала второй сухогруз отставал от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляло 530 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отставал от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого было равно 350 метрам. На сколько километров в час скорость второго сухогруза больше скорости первого?

На рисунке изображён график функции $f(x)=a^x$. Найдите значение выражения $\dfrac{f(-1)}{f(-5)}$.

В январе 2030 года Ольга планирует открыть вклад на 3 года на 1 миллион рублей, а в январе 2031 и 2032 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по $S$ млн рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет 10 % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $S$, если в январе 2033 года на вкладе должно быть 2,024 млн рублей.

а) Решите уравнение $\log_{0{,}04}^2\left(2^{\sqrt{x}}-1\right)-\log_5\left(2^{\sqrt{x}}-1\right)+0{,}75=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5;\,50]$.

В прямой призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основанием является трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, $AB=8$, $BC=5$, $CD=17$, $AD=20$, $BD=DA_1$.

а) Докажите, что в призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно вписать шар.

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $BDA_1$.

Решите неравенство $2^{x^2-7}\left(5^{x^2-4}+8\right)>4^{x^2-5{,}5}+5^{x^2-4}$.

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой

$$l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}.$$

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=20$ м, $u=3$ м/с, $v=2{,}4$ м/с.

В остроугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели высоты $AN$ и $CK$, пересекающиеся в точке $H$. Отрезки $BH$ и $KN$ пересекаются в точке $P$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $KBN$.

а) Докажите, что треугольники $CNH$ и $KPO$ подобны.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KBN$, если $AB=13$, $AC=10$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}(x+y)^2+(x-y)^2+16(x+y)-12(y-2)=8,\\(x+y)^2+(x-y)^2+4\left(a^2-y^2\right)=2a(4x+2y-a)\end{cases}$$

имеет ровно четыре решения.

На доске записаны 110 натуральных трёхзначных чисел, среди которых есть хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде десятков, хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде единиц и хотя бы одно число, в записи которого нет цифры 0. Если в каждом из чисел, в записи которых есть цифра 0, переставить цифры в порядке убывания, а в каждом из чисел, в записи которых нет цифры 0, переставить цифры в порядке возрастания, то получится новый ряд из 110 чисел.

а) Может ли сумма чисел первого ряда быть равна сумме чисел второго ряда?

б) Может ли сумма чисел второго ряда быть в 8 раз меньше суммы чисел первого ряда?

в) В какое наибольшее число раз сумма чисел второго ряда может быть меньше суммы чисел первого ряда?