Вариант 1

Угол равнобедренного треугольника, противолежащий основанию, равен $30^\circ$. Найдите площадь этого треугольника, если его боковая сторона равна $\sqrt{6}$.

Даны векторы $\vec{a}(-1;\,4)$ и $\vec{b}(8;\,-6)$. Найдите скалярное произведение векторов $2\vec{a}$ и $0{,}5\vec{b}$.

Шар вписан в цилиндр, объём которого равен 180. Найдите объём шара.

Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся К. верно ответит не менее, чем на 12 вопросов из 20, равна 0,64. Вероятность того, что К. верно ответит не менее, чем на 15 вопросов из 20, равна 0,48. Найдите вероятность того, что К. верно ответит на 12, 13 или 14 вопросов из 20.

Футбольная команда А. дома (на своём поле) выигрывает у команды Б. с вероятностью 0,6, а играет вничью с вероятностью 0,1. В гостях (на поле команды Б.) команда А. выигрывает у команды Б. с вероятностью 0,3, а играет вничью с вероятностью 0,2. За победу команда получает 3 очка, за ничью — 1 очко. Команды А. и Б. играют два матча — на своём и чужом полях. Найдите вероятность того, что команда А. наберёт в этих матчах не менее 4 очков.

Пластиковые бутылки с питьевой водой продаются поштучно либо упаковками по 4 или 6 штук. Известно, что в среднем 77 покупателей из 100 эту воду не покупают, 10 покупают поштучно, 5 человек — упаковку, в которой 4 бутылки, и 8 человек берут упаковку, в которой 6 бутылок. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество бутылок в одной покупке».

Найдите корень уравнения $4^{3-x}=\sqrt{8}$.

Найдите $\log_a\left(b^6\cdot\sqrt{a}\right)$, если $\log_b a=-2$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;\,8)$. Найдите точку максимума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[-2;\,6]$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=-10t^2+16t+1{,}7$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4,5 метра?

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 240 км, одновременно выехали автомобилист и мотоциклист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 12 км меньше, чем мотоциклист. Определите скорость мотоциклиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 40 минут раньше автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=k\log_a x$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=-9$.

В июле 2030 года Артём планирует взять кредит в банке на 4 года в размере 1,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита?

а) Решите уравнение $\log_2\left(\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=-0{,}5$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi;\,-\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$, в котором $\angle ABC=120^\circ$ и $AB=2$. Высота пирамиды $SO$ равна 3, где точка $O$ — пересечение диагоналей основания. На ребре $CS$ отметили точку $K$ такую, что угол между прямой $DK$ и плоскостью основания равен $60^\circ$.

а) Докажите, что $SK:KC=1:2$.

б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $BC$.

Решите неравенство $\dfrac{2^{2x+1}+x-5\sqrt{x}-12}{4^x-8}\geqslant 2$.

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой

$$A(\tau)=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2-\tau^2\right)^2+n\tau^2T^2}}.$$

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0<n<0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14{,}4$ с?

В пятиугольник $ABCDE$ вписана окружность $\omega$ радиусом $m$ с центром в точке $O$. Четырёхугольник $ABDE$ является равнобедренной трапецией с бо́льшим основанием $BD$; $P$ — точка касания окружности $\omega$ со стороной $AE$.

а) Докажите, что точки $C$, $O$ и $P$ лежат на одной прямой.

б) Найдите площадь пятиугольника $ABCDE$, если $AE=14$, $BD=24$, $AB=13$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\left(a+\dfrac{1}{3}(x-a)^{1{,}5}\right)\log_2\left(a^2-x^2\right)+3x-(x-a)^{1{,}5}=3a+x\log_2\left(a^2-x^2\right)$$

имеет ровно два корня.

Ширина одной секции забора 1 метр. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 30 см (накладывать одну секцию на другую) и получать забор определённой длины.

а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 4,5 метра?

б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?

в) Найдите наименьшую длину $L$ (см) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины $L+10n$ см $(n\in\mathbb{N})$.